O primeiro dia

E você, caro professor? Lembra do seu primeiro dia?

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Calor. A primeira sensação, subindo a rampa para as turmas do segundo ano. foi de que eu ia acabar tendo uma desidratação, tamanha era a quantidade de suor que saía de mim. Ok, não vai ser tão difícil, eu fiz todos os exercícios da apostila, já tô por dentro do conteúdo, afinal função quadrática é moleza, certo? Então vamos lá, vamos arrasar porque você é foda.

Abro a porta.

Não faço ideia de como começar.

Começar é difícil, eu sei.

Eles me olham com curiosidade.

Ok, vamos lá, primeiro passo, você consegue.

– Bom dia!

Eu queria muito não ser eu mesmo para me ver naquele momento. Vinte e seis anos, sem barba, cabelo curto, alguns quilos a menos, nenhuma experiência, muita preparação para chegar naquele momento ali. O fatídico primeiro dia de aula.

Sim, foi um momento adiado. Quatro anos – e meio – de graduação. Seis meses de férias auto-inflingidas, vamos para o mestrado. Dois anos – e meio – de mestrado numa cidade nova em que você não conhece absolutamente ninguém, comendo o pão que o diabo amassou. Daí, voltar pra casa, procurar emprego como professor, não achar – seu currículo é ótimo, mas você não tem experiência – daí a virar professor substituto de uma universidade, aulas de Álgebra, Análise e Geometria, um semestre, mais um monte de concursos pra professor no processo e eis que eu passo, mais seis meses esperando a convocação, muitos contatos pelo telefone, algumas reuniões preparatórias com a Priscila (sim, Pri, se tem alguém que merece todas as homenagens por eu ter sobrevivido ao primeiro dia de aula é você) e mais um monte de leitura, grupos de pesquisa, artigos e artigos sobre educação matemática, psicologia cognitiva e muita, muita matemática no lombo para estar ali na frente daqueles 30 alunos mirrados e…

travei.

Eu só conseguia pensar que eu estava suando em bicas e que não tinha nenhum jeito de disfarçar isso. E também que nenhuma disciplina da faculdade me preparou pra esse momento

Corta pra 2018. Eu e a namorada no boteco dividindo uma Heineken e eu falo pra ela que tô a fim de escrever sobre o primeiro dia. Ela diz que eu já escrevi sobre isso e eu digo que não, o primeiro dia mesmo. E ela me lembra, com sua sabedoria ancestral, que talvez, de todas as licenciaturas, a que menos prepara para o primeiro dia seja a de matemática, justamente porque ela deixa de lado tudo o que é sobre o humano, sobre gente, e foca só no que é exato, mensurável. Há algo a se mudar nas nossas licenciaturas.

Pego o giz. Escrevo meu nome no quadro. Olho para os alunos. Há algo errado, mas o que é? Alguém me aponta o quadro e eu percebo. Errei meu nome. Sim, a primeira palavra que eu escrevi no quadro negro estava errada. Começamos bem, Cacaroto.

Ok, eu vou ter um troço. Vamos lá, você consegue. Eles já sabem isso, é só uma revisão.

– Bom dia.

– Você já falou bom dia.

É verdade.

– Eu esqueci uma coisa, já volto – a voz saiu aguda, quase como um choro.

A respiração estava totalmente disforme. Banheiro. Abro a torneira e tento molhar o rosto, mas a água vem muito forte e acaba causando um acidente. Claro que pode piorar.

Ok, a licenciatura não ajudou, mas você deu aula na faculdade, rapaz, aula de Análise! Só professores muito bons são capazes de dar aula de Análise! Lembre-se, é função quadrática, é mo-le-za. Mas a faculdade não ensina muito função quadrática. O que eu preciso lembrar? Coordenadas do vértice. E o quê mais? Não lembro.

E aquelas aulas todas da faculdade de educação? Piaget, Vigostsky? Onde é que eu vou usar isso?

Um parênteses. Claro que as disciplinas da educação são muito úteis para ser um bom professor. Mas o que eu estou expondo aqui é justamente como. ao não entender a aplicação delas na prática, eu não fazia ideia do que fazer com esse conhecimento. E, convenhamos, eu estava no meio de uma crise. Racionalidade é querer demais da minha pessoa naquela situação.

A torneira ainda aberta. Olhando para o espelho, eu tô num beco sem saída. A turma lá me esperando, eu suando em bicas, sem ideia de como começar. Respira, respira. É um desafio. E você se sente desafiado, como você age?

Lembrei de muitos anos antes, quando eu treinava judô, ainda na faixa amarela, da voz do sensei Guilherme dizendo que a gente começa a ganhar a luta dentro da cabeça. A mente do guerreiro é clara, não há espaço para dúvidas, para medos, para frustrações. A mente do guerreiro é calma, como calmos são seus gestos e movimentos. A cada momento, o guerreiro sabe exatamente o que fazer. E essa calma começa justamente na respiração, quando ele consegue olhar para dentro de si mesmo e se conhecer com profundidade.

Desde o primeiro post dessa série eu tenho insistido que o trabalho do professor é intencional. O professor age com um objetivo: ensinar. Ele articula suas habilidades – experiências, saberes, emoções, gestos – para direcionar o processo de ensino. É preciso que isso seja consciente para que os resultados de aprendizagem aconteçam. Mas, é claro, também é preciso muita experiência para entender o que funciona ou não. É na prática que esses saberes e habilidades e configuram em ações pedagógicas. A experiência da prática que transforma as intenções docentes em ações de ensinar. O judô me ensinou muito sobre isso.

Ok, estou mais calmo. Mas o quê fazer? Qual vai ser o próximo passo? Dar bom dia de novo? Ensinar aos alunos como se faz um ippon seoi nage? Acho que não é bem por aí…

O que está errado? Porque não funcionou o começo? Onde você errou o planejamento? Cara, você escreveu seu nome errado e deu bom dia duas vezes. Dá pra fazer melhor que isso. O problema é que eu ser eu estava bem difícil naquele momento…

Eu-re-ka.

Basta não ser você mesmo, ora pois. E você sabe fazer isso! Um ano e meio de teatro amador. Você não é nenhum Daniel Day-Lewis mas é melhor do que nada. Vamos lá, olhe para esse espelho. Quem você quer ser? Postura. Ajeita essas costas, menino. Confiança. Olhar para um ponto neutro, além da plateia. Agora a voz, lembre da voz. tem de sair do diafragma, não da garganta. O resto é resto.

Entro na sala.

– Então, gente, eu sei que vocês já sabem bastante coisa sobre parábolas – vamos começar com uma revisão.

O problema é que aula não é teatro. A plateia interage…

– Mas professor, me diz uma coisa, pra quê serve isso? – aluno gaiato detectado.

Não dá tempo pra pensar, responda, mantenha o personagem, atue com ele. É que nem naquele exercício de jogo de cena. Você consegue.

– Digamos que… – que exemplo dar? Jogo de cena, fala o que tá no subconsciente e o resto sai – que você esteja no forte de Copacabana e seu país seja governado por um presidente ilegítimo e você e 16 amigos tomem o forte para derrubar o governo no meio da madrugada. E, para que todo mundo perceba que você está falando sério, você resolve bombardear o palácio do Catete.

– Ah, tá de caô! O forte tá em Copacabana é muito longe do palácio do Catete. E tem uma cadeia de montanhas no meio do caminho.

– Mas isso aconteceu.

Todos os olhares estão em mim.

– E, bem, a trajetória de um projétil lançado do forte é uma parábola.

– Ok, é uma parábola, a gente sabe. Mas ninguém é doido de fazer um negócio desses.

– Uai, mas fizeram. E era importante que os cálculos fossem certos para acertar o palácio, não as casas do Catete que não tinham nada a ver com isso.

– Bombardearam o palácio?

– Sim, sim. Daqui a pouco eu conto essa história. Mas vamos lá – faço um desenho no quadro – Aqui fica o forte de Copacabana e aqui fica o palácio do Catete, e aqui é a cadeia de montanhas. Então – desenhando uma parábola – a gente tem de pensar em como fazer para o projétil fazer mais ou menos esse caminho. Alguma ideia?

E os alunos foram falando. Sobre x do vértice, do vértice, concavidade voltada pra baixo, ângulos…

– Tá, professor, a gente já entendeu que dá pra usar parábola nisso. Mas agora que a aula tá acabando, conta a história desses malucos que tomaram o forte.

– Ah, essa história é boa! É a história dos 18 do forte!

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E foi assim meu primeiro dia de aula. Claro que eu cometi muitos erros. Olhando retrospectivamente, não foi só o meu nervosismo, mas também a tentativa de ignorar os alunos, o fato de encarar a aula como se fosse um planejamento perfeito, também não ter pensado antecipadamente sobre a aplicação daquele conhecimento na prática.

Mas também aprendi muitas coisas. Percebi que dentro de mim eu tinha várias habilidades que eu não tinha utilizado ainda. Os meus pequenos conhecimentos de teatro, um pouco de matemática que eu tinha e muita postura. Com o tempo eu fui criando um personagem – o professor Ulisses – e foi ficando mais fácil me divertir fazendo aquilo. Claro que também houve muitas crises, mas olhando pra esse dia, há 7 anos atrás, eu lembro com bastante carinho desses alunos fofos que me ensinaram tanto. Tenho uma dívida impagável com eles, assim como todos os professores que tiveram muita paciência para ouvir meus lamentos e me ajudar com ideias.

A Priscila, que dividia série comigo, foi a mais importante delas no comecinho, me ensinando a planejar, a avaliar, a ouvir os alunos e tendo um carinho imenso comigo todas as vezes que eu meti os pés pelas mãos. E é muito importante ter alguém com quem contar, tirar dúvidas e rir um pouco. Nisso eu sempre fui muito afortunado.


Se você, caro professor, ficou com vontade de continuar essa prosa, não tenha vergonha de deixar seu comentário aqui embaixo ou mandar um e-mail para ulissesdias@yahoo.com.br. Podemos publicar sua história se for de seu interesse.

Também estamos com uma página no Facebook onde você pode ter acesso em primeira mão a tudo o que nós postamos aqui.

Até mais!

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Firmamento

tão firme o momento
É um tormento
Quando o filme afirma entre doses e batimentos que o aumento do sofrimento não muda o pensamento em movimento. É um alento olhar atento da janela do apartamento o firmamento.

Caleidoscópio de Crepitares

Continuando a linha de posts sobre a realidade docente, sobre as dores e delícias de ser professor, hoje o assunto é conjuntos.

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REFLEXÃO ANDANDO NO CORREDOR DEPOIS DAS DUAS PRIMEIRAS AULAS, SUADO PORQUE O AR CONDICIONADO NÃO FUNCIONA, UM MONTE DE ALUNO ESBARRANDO EM MIM NO CAMINHO: Às vezes, por mais saberes que você tenha, por mais experiência e abertura para o novo e por mais metáforas que você conheça, há coisas que você não é capaz de dizer. Tem coisas da atividade docente que são do sentir. Esse feeling, essa capacidade de perceber os não ditos, de prestar atenção no detalhe no meio daquele caos, é o que diferencia o trabalho do professor, mas não de qualquer professor, mas daquele professor que passa pela vida do aluno e deixa lembranças.

AULA DO PRIMEIRO ANO, AULA BORING DE EXERCÍCIOS DE CONJUNTOS DO LIVRO DIDÁTICO:

– Então gente, o conjunto vazio está contido em todos os conjuntos, logo, nesse caso…

Corta pra menina com cara de incrédula na segunda cadeira do lado esquerdo. Olhar perdido e um pouco de tristeza.

– Mas como é que o vazio pode estar dentro de todos os conjuntos?

Olho pra cara dela, respiro. Metáforas.

– Vocês não sentem que tem um vazio dentro de todos vocês? – Risadas eufóricas. Espero que elas terminem – Mas é sério. Há um pouco de vazio dentro de cada coração. Vazio de alguém que se foi, vazio de um amor que não se viveu, vazio de uma coisa que não se fez, vazio de ser algo que a gente não quer ser. Vazio de carregar expectativas de outras pessoas. Vazio. Não podemos ignorar esse vazio porque ele é muito forte e poderoso. Nem podemos preencher esse vazio com outras coisas, como muita gente faz: com expectativas, com sonhos impossíveis, com comida – boto a mão na barriga e arranco algumas risadas – mas podemos dar a esse vazio uma dimensão que ele realmente tem. O vazio que tem na gente é do tamanho que a gente deixa ele ficar. A gente tem agência, ou seja, a gente pode agir na nossa cabeça para que nosso coração reconheça esse vazio e saiba lidar com ele. Resumindo, nós todos somos conjuntos com nossos vazios interiores. Tá convencida?

Ela sorri e não responde nada com a boca, mas os olhos brilham. Fim da Filosofia, vamos pra Matemática.

– Mas eu tô entendendo que vocês não digeriram muito bem esse conjunto vazio, né? – Alguns alunos assentem – Como é que pode uma coisa que não possui nada estar em todos os conjuntos? Gente, não se preocupem, a ideia do conjunto vazio é muito sofisticada…

PAUSA PARA FALAR COM O PROFESSOR: Sim, eu sei que você provavelmente teve um pouco de teoria dos conjuntos no seu curso de Álgebra (ou Análise) e conhece um pouco da axiomática dos conjuntos, provavelmente o sistema de Zermelo-Fraenkel (AZF) que é o mais famoso nas terras tupiniquins que seguem os livros do IMPA. Mas aí você vai dar aula no primeiro ano e pensa logo: vou falar da axiomática de conjuntos e vou fazer uma construção formal. Ok, é uma alternativa. Inclusive, eu acho que a potência da matemática é que, com algum pré-requisito, é possível fazer as pessoas entenderem sobre o que a teoria está falando. O caso do vazio é um exemplo emblemático já que, com base nos AZF, é possível provar que o conjunto vazio existe e é único. Mas, percebam que a dúvida aqui é outra: não é de provar a existência e unicidade do conjunto vazio, mas de dar uma concretude a esse conjunto e suas propriedades de modo que eles mesmo entendam. O professor precisa de estratégias para justamente fazer isso. Proponho um pensamento alternativo: o vazio como ideia existe (e é único) para que se adeque à teoria, para que ela seja coerente. Assim, a ideia de vazio é extremamente sofisticada já que ela não é natural – no sentido de que ela não pode ser percebida diretamente dos sentidos, como a ideia de que por dois pontos passa uma única reta – mas que foi construída como uma consequência de uma teoria matemática fundante. Assim, do ponto de vista pedagógico, o vazio é um nó, mas também é um ponto de partida.

… lembra que eu falei outro dia mesmo sobre como a teoria dos conjuntos é a base da matemática? Se a gente tá na geometria, pontos são subconjuntos de retas, que são subconjuntos do plano. Na semana passada, a gente falou dos conjuntos numéricos e que os naturais são subconjunto dos reais, etc… Então a teoria que a gente tá estudando agora não é óbvia e ela precisa ser suficientemente geral para funcionar em todos esses complexos sistemas matemáticos. Mais do que isso, gente, o que vocês tão vendo aqui é um vislumbre da própria estrutura da matemática em si. É como se a gente visitasse o interior de um prédio muito intrincado e fosse olhar o que segura ele em pé.

– Então tem axiomas de conjuntos que nem tem axiomas na Geometria?

– Sim, jovem padawan. Como o professor Claudio falou para vocês outro dia, o que sustenta esse palácio de pensamento é a lógica. Os axiomas são a fundação e a lógica é como se fossem as colunas que seguram as paredes. Por isso o que o Claudio falou pra vocês é tão importante.

Pausa para olhar de admiração.

VOLTO AO CORREDOR, NA SAUNA CARIOCA DE FIM DE VERÃO. PENSO NUM ALUNO QUE PARECIA ISOLADO, LÁ NO FUNDO DA SALA, NÃO FALOU NADA A AULA INTEIRA, MAS PRESTOU MUITA ATENÇÃO. PARECIA QUE ELE OLHAVA ATRAVÉS DE MIM. PARECIA QUE ELE CONHECIA A NATUREZA DO QUE EU FALAVA.

VOLTA PRA SALA

– Mas então, vamos voltar pro exercício. Todo mundo convencido que tem um vazio em cada conjunto? “SIM”. Vamos brincar um pouco com vazio então. O que é vazio união com o conjunto A? “A, professor, porque não junta nada com o A”. Ok, todo mundo entendeu a ideia dela?

Eu podia sentir. Era quase uma energia elétrica. A Epifania estava chegando.

– Professor, eu acho que entendi um negócio zoadaço! Eu acho que sei porque você quis falar dos conjuntos numéricos antes.

– Por quê?

– É que você falou que a gente “cria” os inteiros para poder fechar a operação lá, né?

Pulos internos de alegria. Vai que é sua Taffarel.

– Ok, onde você quer chegar?

– Então, pra mim eu tô enxergando que a união é uma operação…

Outro aluno – Caraca, maluco, é isso mesmo! É como se união fosse somar!

Aluno original – E o vazio fosse o zero!

Êxtase. Onde assino minha aposentadoria? Mantenho a cara de paisagem. A turma toda em silêncio olhando para mim. Dois ou três segundos de suspense. E eu bato, lentamente, uma mão na outra, sorrindo orgulhoso!

– Desse jeito vocês vão deixar de ser padawans logo logo! – Aplausos

Percebam que, como disse no post anterior, a ação do professor é intencional. É claro que eu não poderia saber que os alunos teriam esse insight, mas enfatizar as operações nos conjuntos numéricos na aula anterior ajudou a fazer com que eles percebessem a ideia geral de que a mesma estrutura – guardadas as devidas proporções – está na operação soma na operação união. Mas, principalmente, deixei os alunos confortáveis para fazerem conjecturas sobre ideias complexas e valorizei seus raciocínios, embora não completamente corretos. Matemática é muito sobre descoberta, mas sobretudo sobre ousadia.

VOLTA PARA O CORREDOR. O TAL ALUNO PASSA POR MIM E EU SORRIO. OK, NÃO VAMOS CONVERSAR HOJE, AINDA NÃO DÁ. MAS JÁ SEI QUE TENHO ALGO IMPORTANTE A PERGUNTAR PARA ELE. DE ALGUMA MANEIRA PERCEBO NELE UMA FAÍSCA. MAS EXISTEM OUTROS ALUNOS, OUTRAS FAÍSCAS. PENSO NA CAROL FRANÇA, EM ALGO MUITO BELO QUE ELA ME DISSE SOBRE ALUNOS SEREM FAÍSCAS DIFERENTES CREPITANDO NA SALA DE AULA E, POR ALGUM INSTANTE ENQUANTO SOU PISOTEADO PELAS CRIANÇAS CORRENDO NO INTERVALO, EU PERCEBO QUE TUDO FAZ SENTIDO, QUE PROFESSORES SÃO DOTADOS DE HABILIDADES E QUE A GENTE NÃO DEVE APAGAR CHAMAS, A GENTE DEVE FAZER CREPITARES. E, MAIS AINDA, PERCEBO QUE A UNIVERSIDADE DEVE DAR VOZ A ESSES PROFESSORES. DEVE DAR OUVIDOS A ELES (A NÓS), NÃO SÓ OUVIDOS HERMÉTICOS DE UM EXPERIMENTO CIENTÍFICO, CHEIO DE METODOLOGIAS, MAS OUVIDOS HUMANOS, HUMANIZANTES, GENEROSOS E GERADORES DE TRANSFORMAÇÕES.

VOLTA PARA QUINTA-FEIRA PASSADA: Defesa de doutorado do Fabio Lennon, vamos ao shopping depois dividir uma garrafa de vinho.

– Então, Ulisses, uma coisa que eu tenho feito com meus alunos é pedir para eles escreverem histórias…

– Histórias de vida, redações?

– Não, não. Eu peço para eles escreverem histórias sobre, sei lá, zumbis. E aí ele fala da mãe zumbi que morreu, do irmão zumbi que morreu. Das pessoas zumbis que ele amava e que ele agora está sozinho. E eu percebo que ele quer contar a história dele. É a vida dele, ele tá dizendo tudo o que a escola não deixa ele dizer, tudo o que a escola ignora, tudo o que é importante. Ele quer gritar, ele está numa sala – No caso, é uma turma de aceleração – em que todos disseram o tempo todo que eles não eram capazes, que ali não era o lugar deles, que eles eram burros e eu digo que não. Eu valorizo as histórias deles, eu os escuto, eu os deixo falar. E quando eles falam, eles confiam em mim e aí eu ganhei esses alunos. É como se a gente falasse a linguagem deles

– No sentido do Paulo Freire, de partir da realidade do aluno para fazer a pedagogia?

– Mais, no sentido etnomatemático mesmo. É de fazer com que a matemática que eu ensino tenha sentido e significado para eles

– E aí a narrativa é esse lugar da fala? Tipo, o lugar de empoderado, de super herói, de ser o cara que vai salvar o dia e matar os zumbis.

– Exatamente. Tudo o que eles precisam é de uma válvula de escape, de alguém que deixe eles serem quem são

VOLTA PRA HOJE, DEFESA DO MESTRADO DA CAROL FRANÇA.

CAROL: Mas o que eu queria era compartilhar com vocês o que é a parte mais íntima e mais pessoal desses professores entrevistados: a sua história. E eu preciso ter um cuidado muito grande com isso porque eu devo respeitar esses sujeitos que eles são. […] Assim como a gente tem de ter cuidado com ouvir os nossos alunos, permitir que eles tenham suas linguagens e cresçam, se desenvolvam com ela. Devemos te cuidado com as falsas escutas…

VOLTA PRA AULA. Tá galera, hoje a gente já andou bastante. Vamos parar conjuntos um pouco e vamos para algo mais palpável. Vocês conhecem o problema dos quatro quatros?

Há o momento do profundo e há o momento do lúdico. Há o momento do Axioma e o momento da metáfora. Há o momento do caos caótico e o momento do caos do aprendizado. Há sempre o momento de aprender.

VEM PRO PRESENTE “PRESENTE” ENQUANTO ESCREVO ESSE RELATO. De alguma forma, embora eu não saiba exatamente onde vai chegar essa história toda, eu me vejo no meio desses amálgamas todos de sensações. Me vejo no local de escuta. Me vejo no local de desconforto e reflexão. Me vejo no lugar de alguém que se sente na liberdade de ousar e experimentar. E isso, profundamente, me transforma, me transborda. Isso me faz ser eu…


Se você, caro professor, quiser continuar batendo um papo, basta mandar um e-mail para ulissesdias@yahoo.com.br. A gente tá sempre à disposição para ouvir novas histórias e melhorar! Abraços

 

 

 

 

Conjuntos Numéricos, Amor, Pitágoras e Bach: uma introdução problematizada

Muito inspirado pela minha colega Daniela Mendes que escreve constantemente aqui nesse belo site, eu resolvi dividir com vocês algumas das minhas experiências em sala de aula. Isso porque eu acho que nós, enquanto professores, produzimos conhecimento ao transformar os conteúdos escolares em ações pedagógicas, dotadas de intencionalidade e reflexão. Refletir, transformar a maneira de pensar desses sujeitos-alunos – em suma, fazê-los pensar fora da caixinha que eles mesmos se colocam – deve ser um dos principais objetivos do professor de matemática. Compartilhando como fazemos isso, discutindo e melhorando juntos, ao adaptar para nossos contextos escolares e nossas realidades cotidianas, pode servir para melhorar nossa prática pedagógica e, consequentemente, a aprendizagem de nossos alunos. Mas vamos ao que interessa…

Meu objetivo era trabalhar com meus alunos com os conjuntos numéricos: Naturais, inteiros, racionais, reais… Falar sobre seus subconjuntos e propriedades. Mas como fazer isso? Fiquei matutando isso uns dias, até que achei uma ótima maneira de fazer isso:

– Alunos, vamos começar a aula de hoje com uma pergunta problematizadora: como é que a gente faz para medir o amor?

Como esperado, logo após o susto inicial começou uma explosão de respostas: “ah, não dá pra medir não”; “pra medir eu tenho de ter uma unidade, que unidade é essa?”; “ué, mas amor é infinito, infinito não dá pra medir”; “mas amor é tudo igual”; “nada, o amor que eu sinto pelo meu pai é diferente do que eu sinto pela minha namorada”; “mas só dá pra medir o que eu posso observar…”; “e você observa a temperatura como?”

Foram uns bons cinco minutos com uma excelente discussão sobre o que é medir, sobre o que pode e o que não pode ser medido, sobre o que é o amor que a gente sente e – inconscientemente – sobre matemática. Volta para o professor, dúvida geral…

– Ok, nenhuma resposta satisfatória. Mas o que é medir, como é que a gente mede as coisas?

Engraçado – e esperado – ver que os alunos ainda confundem a ideia de contar com a ideia de medir. Falei com eles sobre o processo de contagem e perguntei o que a gente usa pra contar. “Números”; “mas quais números, padawans?”; “1, 2, 3”; “e como é que eles se chamam?”; “NATURAIS!!!”.

Salva de Palmas, eles se achando a última bolacha do pacote…

– Ok, mas me digam, quais são as propriedades desse conjunto?

De maneira intuitiva, falei com eles sobre três importantes propriedades dos números naturais:

  • O conjunto dos naturais tem um menor elemento
  • Todo número natural tem um sucessor
  • O conjunto dos naturais é infinito

Claro que poderia ter tomado um caminho mais formal, trabalhando os axiomas de Peano de uma maneira mais aprofundada, inclusive dizendo o que significa o “infinito” na terceira propriedade, mas meu objetivo aqui não era esse – apesar de as aulas de análise me ajudarem muito a sair das perguntas dos alunos sendo sincero e verdadeiro, mas utilizando uma linguagem menos carregada. Justamente por conhecer o formalismo da Análise que eu pude propor uma discussão sobre os fundamentos dos conjuntos numéricos com alunos do primeiro ano do ensino médio de um nível que eles são capazes de compreender. Mas minha intencionalidade como professor estava sempre ali.

Brincamos um pouco com as propriedades dos naturais, volta a fala pro professor (no caso eu, que ainda não decidi se falo em primeira ou terceira pessoa, mas acho que o leitor tá acompanhando, então tá sussa):

– Mas então, qual é o próximo conjunto?

– INTEIROS – Minha cara de decepção

– Mas por quê?

– Como assim por quê? “No livro vem os inteiros depois dos naturais”; “os inteiros são iguais aos naturais, mas com o menos” – um monte de aluno falando ao mesmo tempo como se não houvesse amanhã.

Pausa para comentários: Os alunos não questionam a ordem de exposição dos números, nem os motivos para que eles sejam assim. Apenas recitam as propriedades conhecidas por eles. Acham, inclusive que a ordem do livro é a ordem que deve ser dada. Postulo que muitos de nós, professores, pensamos assim. Eu idem…

– Mas olha só, pensem comigo, o que é mais “fácil” de acontecer: alguém medir uma coisa com uma corda e não dar a corda inteira ou, sei lá, ficar devendo dinheiro no banco? Do ponto de vista do desenvolvimento necessário da sociedade? O que eu quero dizer é que o ato de medir é historicamente anterior ao ato de criar um número negativo.

– Mas professor, então porque os livros apresentam os inteiros antes?

– Ué, por dois motivos: vocês têm razão que os inteiros são mais parecidos com os naturais, mas também porque quando a gente define os racionais – que vocês pelo visto já conhecem também – a gente usa números inteiros, né?

– Hum…

– Mas alguém falou lá atrás que os inteiros são naturais com sinal. Ok, mas como surge um número negativo?

– Subtraindo.

– A ideia tá certa, é bem por aí mesmo. A gente percebe que se a gente soma dois números naturais o resultado dá um número natural, assim como quando a gente multiplica, mas quando a gente subtrai isso não acontece. Subtrair 7 de 5 dá resultado -2. Esse conjunto novo, os inteiros, está ligado a essa ideia de fechamento das operações soma e produto

– Mas a divisão não é fechada, né professor?

– Salva de palmas para o Cacaroto aqui da fileira da direita – Alunos aplaudem – mas a gente tá indo rápido nessa discussão. Vamos escrever um pouco no quadro sobre o que a gente já sabe dos inteiros.

Aproveitei esse tempo para sistematizar no quadro as propriedades dos inteiros: com foco principalmente na existência do simétrico aditivo.

Nova pausa: Alunos de licenciatura em geral e muitos professores, em particular, não valorizam as aulas de álgebra na universidade. Mas aqui a gente enxerga um momento fundamental em que as propriedades de um anel são apresentadas – intuitivamente – aos alunos da educação básica. Conhecer aquelas demonstrações sobre o que define ou não um anel e as propriedades é muito útil para que você, como professor, compreenda a estrutura dos conjuntos numéricos. Claro que seria muito melhor que esses cursos fossem problematizados, ou seja, pensados para a licenciatura, trazendo exemplos da sala de aula. Um ótimo lugar para ver uma forma alternativa de apresentar essas disciplinas é o canal do Pemat no Youtube, onde há as aulas do curso de análise para a pós-graduação dadas pelo professor Victor Giraldo.

Volta para a aula, utilizo agora a ideia de inverso multiplicativo para justificar esse novo conjunto – os racionais. Defino os racionais em termos de a/b, com a e b inteiros, b diferente de zero, como nos livros. Mas perceba que eu não estou com foco na definição, nem com foco nos inteiros, nem com foco nas dízimas periódicas e não periódicas, nem na escrita deles na forma decimal. Apenas estou aqui focando a ideia de fechamento das operações, justamente pelo feedback da turma. Em outro momento eu voltarei as essas propriedades com mais detalhes e formalismo.

– Acabou, né galera, podemos ir embora.

– Oi? E os reais? E os irracionais?

– Mas o nosso foco não eram as operações? Somar, subtrair, multiplicar e dividir? Esse problema a gente já resolveu…

– Mas a gente não mede com os reais?

– Não, a gente mede com os racionais. Quando você tem uma medida, no mundo real, o resultado dá 1,32cm; 31,45m². No mundo real a gente não usa casas decimais infinitas, a gente usa aproximações. Então, se o foco é só para utilizar, os racionais estão de bom tamanho… só que… isso me incomoda um pouco. Eu acho que a gente não devia se focar apenas no que a gente usa, mas em entender a natureza das coisas e querer sempre mais. Porque se a gente só dá atenção para aquilo que é necessário, aquilo que é imediato, como a gente consegue entender as nuances das coisas com profundidade e ir além? Porque além disso, existe apenas e tão somente a fé. Mas quando a gente usa a razão para ir além da crença, a gente ao mesmo tempo que se liberta das amarras que colocamos sobre nós mesmos – através da crença – e podemos ver beleza onde menos imaginamos… e até morrer por isso…

– Morrer por pensar?

– Morrer por questionar a crença.

– Mas o que isso tem a ver com a matemática?

– Ora, padawans, tudo. Vou lhes contar uma história que, como todas as histórias antigas, recontadas de geração em geração, tem muito de real, mas muito de lenda. Vocês já tiveram aulas de filosofia?

– Não, começa essa semana!

– Certeza que cês vão curtir. Mas voltando, alguém que vocês já ouviram falar muito, muito, tinha uma escola de Filosofia na Grécia antiga: Pitágoras. Para ele e seus discípulos, tudo era número e se você estudar bastante será capaz de ouvir a música do universo. Mas quando dizemos número, queremos dizer número racional, a/b, sabe como é, né? Pitágoras e seus discípulos viam número em tudo: na música, nas artes, na beleza, em cada recanto do universo. Mais eis que um de seus discípulos descobriu, pasmo, que haviam números que não poderiam ser escritos na forma a/b. Estupefato, apresentou a seus colegas a sua descoberta e, embora ninguém tenha certeza exata do que aconteceu, sabe-se que morreu logo depois disso.

– Morreu como? – sempre tem alguém interessado nos detalhes mórbidos…

– Afogado. Mas continuando, dizem que ele conseguiu provar que raiz de 2 não é um número racional. Eu não sei exatamente como é que ele fez essa prova, mas eu sei uma demonstração que vocês são capazes de acompanhar

E fiz a demonstração clássica de que raiz de 2 é irracional utilizando argumento de paridade.

É importante destacar que a demonstração em si utiliza poucos elementos complexos e os alunos do primeiro ano do ensino médio acompanham bem os passos. Mas o mais interessante é que eles prestaram muita atenção no raciocínio porque eles entenderam que aquilo era fundamental, já que desafiava a ideia de que todos os números eram racionais. Não propus a discussão de um conjunto em que as dízimas não são periódicas, nem um conjunto em que estão as raízes quadradas, cúbicas, etc. A demonstração serve para introduzir um conjunto que não se encaixa, o que faz – potencialmente – os alunos terem uma visão, uma metáfora mais precisa da necessidade dos números reais. Olha a Análise aí de novo…

Acabo a demonstração e falo algumas propriedades dos números reais e vejo que os alunos estão prestando muita atenção e muito interessados. O problema de contar e medir se transformou num problema teórico importante: um novo universo é criado, os reais. Quando apresento o Diagrama de Venn, com os conjuntos numéricos encadeados, percebo que o meu foco principal foi alcançado: os alunos perceberam que novas operações, novos problemas, foram criando novos conjuntos.

conjuntos

– Percebam a beleza do que fizemos aqui hoje: novas formas de pensar levam a novos universos. É o poder do pensamento que cria o novo. Da mesma forma que ao aprender coisas novas a gente observa o mundo de uma nova maneira. A matemática é tanto uma ferramenta para entender melhor a realidade – e também para gerar mais e mais desigualdade nesse mundo tão desigual, já que pessoas com poder econômico diferente possuem também informação diferente para tomada de decisão – quanto uma maneira de criar novos mundos que podem ou não existir apenas no nosso pensamento. Se vocês entenderam isso, eu já me dou por satisfeito na aula de hoje.

Olho pro relógio, faltam 10 minutos, vamos falar a linguagem dos jovens.

– Mas então, eu falei que o Pitágoras viu música na matemática. Na verdade, ele enxergou razões entre números como uma maneira de modelar as notas musicais. Muitos professores dizem, inclusive, que a escala ocidental – dó, ré, mi.. – é devida a Pitágoras. Eu diria que isso é impreciso. Pitágoras manjava dos paranauês sim, mas assim como o seu discípulo questionou sua conclusão de que os números são todos racionais, outra grande personalidade, agora um músico, ousou questionar os padrões do que é música e ir além.

Saquei o celular do bolso.

– Ouçam isso, mas com os ouvidos de sentir, não com os ouvidos de gostar…

– O que vocês sentem?

“é chato”; “tá subindo e descendo”; “é como se estivesse dançando”; “pra mim parece uma abelha zunindo”; “é bonito, de quem é?”

– Quem compôs essa música foi um cara chamado Bach. Ele foi um grande estudioso de teoria musical e foi um dos músicos que mais contribuiu para a música ocidental. Ouso dizer que ele mudou as bases da própria música, trazendo mais emoção e sentimento para a música e permitindo que a gente pudesse ir cada vez mais longe, experimentar cada vez mais. Bach pisou nas estruturas vistas por Pitágoras e fez essa coisa linda que cês tão ouvindo agora. Mas…

Interrompo a música, mexo no celular…

– Eu sei que vocês querem ir no intervalo, mas eu queria que vocês prestassem atenção nessa flautinha no começo dessa música aqui e percebessem a semelhança

Risada geral.

– Sim, galera, o mesmo Bach fez a flautinha no começo dessa música. Então se vocês se divertiram muito nas férias dançando esse funk, agradeçam a ele. Bom intervalo pra vocês, sejam felizes e aproveitem a vida.

– Peraí, professor, cê não respondeu.

– O quê?

– A pergunta do começo da aula! Como é que a gente mede o amor?

– É simples. É só você ter uma régua infinita, hahahahaha! Tchau!


Se você, caro professor, ficou um pouco mais interessado nos detalhes históricos e matemáticos que eu trouxe na minha aula, recomendo fortemente a leitura do maravilhoso livro Godel Escer Bach que trata dessas e de outras muitas nuances da interface entre matemática, lógica, arte e música. Também estou disponível para conversar por e-mail: ulissesdias@yahoo.com.br. A gente tá sempre à disposição para ouvir novas histórias e melhorar! Abraços

 

Eupátrida

Eu-pátrida. Essa pátria é minha!

Minha terra, minha cidade, minha praia, meu bairro,

Minha rua, minha história, minha luta,

Minha família, minha empregada preta,

Minha cantada escrota, minha Hilux prateada,

Minha viagem pra Paris, meu passaporte diplomático, meu cartão sem limite,

Meu apartamento na Vieira Souto, meu buldogue francês,

Minha carta de vinhos, minha religião, meu Deus branco e barbudo em cima das nuvens dando perdão em troca de dólar,

Minhas ações, meu par de esquis, meus mocassins importados,

Meu convite pra festa no Copacabana Palace,

Meu Maracanã, minha cadeira cativa no jogo do Flamengo,

Meu jet ski, minha camisa da Polo Aramis Roxa,

“O auriverde pendão da minha terra” balançando em meu iate,

Meu orgulho pátrio, meu tucano preferido,

Meu programa de domingo à noite,

Meus funcionários, minha startup, meu hedge fund, interest hate, spending, wealth, stability, anyway,

Meus bailes no canecão, meus diamantes eternos, minha nostalgia do que não vivi.

Meu direito: de odiar, de ser invejado porque eu sou tudo, eu sou fera, eu sou foda, eu sou o que leva esse país pra frente, eu sou a estabilidade, eu sou a tradição, eu sou a personificação da beleza, da saúde e do sucesso, eu sou visto, eu sou lido, eu sou ouvido, eu sou mindfulness, eu sou o orgulho, eu sou a essência, eu sou o herói, eu sou o ídolo, eu sou o formador de opinião, eu sou tudo o que você deseja, tudo o que você sonha, tudo o que te negam, tudo o que te faz suspirar

Eupátrida. Eu-pútrido. Eucarionte. Eu-lírico. Euskera. Eudoxo. Europeu em todo sangue: branco de todos os traços, nobre em todas linhagens, puro, sacrossanto, “impávido colosso”, acima do bem e do mal.

Mas não te queixes do que não és.

Pois quando tu és-perança, eu-camburão;

Quando tu és o voto, eu-mensalão;

Quando tu andas solto, eu-roda-viva!

Quando tu és diretas, eu-TSE

Quando tu és Bastilha, eu sou Brasília.